1. Спектр синусоиды (рис. 14.14, а) в базисе функций Уолша.

Интервал разложения в данном случае целесообразно приравнять величине Т.

Переходя к безразмерному времени записываем колебание в форме Ограничимся 16-ю функциями, причем сначала выберем упорядочение по Уолшу. Поскольку заданная функция нечетна относительно точки , все коэффициенты при четных функциях Уолша в ряде (14.27), т. е. при равны нулю.

Те из оставшихся восьми функций которые совпадают с функциями Радемахера и имеют периодичность внутри интервала , приводит к нулевому коэффициенту из-за четности в указанных интервалах.

Итак, лишь четыре коэффициента из 16 не равны нулю: А (1), А (5), А (9) и А (13). Определим эти коэффициенты по формуле (14.28). Подынтегральные функции, являющиеся произведениями сигналах (см. рис. 14.14, а) и соответствующей функции представлены на рис. 14.14, б - д. Кусочное интегрирование этих произведений дает

Спектр рассматриваемого сигнала в базисе функций Уолша (упорядоченных по Уолшу) представлен на рис. 14.15, а.

Рис. 14.14. Стробирование отрезка синусоиды функциями Уолша

Рис. 14.15. Спектры синусоиды в базисе функций Уолша, упорядоченных по Уолшу (а), Пэли (б) и Адамару (в). Размер базиса

При упорядочении по Пэли и Адамару спектр того же сигнала принимает вид, показанный на рис. 14.15, б и в. Эти спектры получены из спектра на рис. 14.15, а перестановкой коэффициентов в соответствии с таблицей (см. рис. 14.13), показывающей взаимосвязь между способами упорядочения функций Уолша (для ).

Для уменьшения искажений при восстановлении колебания ограниченным числом функций Уолша предпочтение следует отдавать упорядочению, которое обеспечивает монотонное убывание спектра. Иными словами, наилучшим является упорядочение, при котором каждый следующий спектральный компонент не больше (по модулю) предыдущего, т. е. . В этом смысле наилучшим упорядочением при представлении отрезка синусоиды, как это следует из рис. 14.15, является упорядочение Пэли, а наихудшим - Адамара.

Восстановление исходного сигнала (см. рис. 14.14, а) шестнадцатью функциями Уолша представлено на рис. 14.16 (двенадцать спектральных коэффициентов обращаются в нуль), От способа упорядочения функций это построение, разумеется, не зависит. Очевидно, что для более удовлетворительной аппроксимации синусоидального колебания в базисе Уолша требуется существенное увеличение числа спектральных компонентов.

Вне интервала (0,1) ряд (14.27), как отмечалось в § 14. 4, описывает периодическое продолжение , в данном примере гармоническую функцию.

2. Спектр гармонического колебания (рис. 14.17) в базисе функций Уолша. Как и в предыдущем примере, рассматривается один цикл гармонического колебания с периодом . Переходя к безразмерному времени записываем колебание в форме

Спектр Уолша функции определен в примере 1. Совершенно аналогично определение спектра функции на интервале }