Единичные функции и их свойства Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями. Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция: График функции 1(t-t 0) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна 1. Скачок такого типа будем называть единичным.

Единичные функции и их свойства В связи с тем, что произведение любой ограниченной функции времени f(t) на 1(t-t 0) равно нулю при t

Единичные функции и их свойства Если при t=t 0 в цепь включается источник гармонического тока или напряжения то внешнее воздействие на цепь можно представить в виде: Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t=t 0 скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения X 1 до другого X 2, то

Единичные функции и их свойства Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой X и длительностью tи (рис.), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков сдвинутых во времени на tи

Единичные функции и их свойства Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью и высотой 1/ t (рис.). Очевидно, что площадь этого импульса равна 1 и не зависит от t. При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при t→ 0 она стремится к бесконечности, но площадь остается равной 1. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1, будем называть единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается (t-t 0) и называется δ-функцией или функцией Дирака.

Единичные функции и их свойства с помощью δ-функции можно выделять значения функции f(t) в произвольные моменты времени t 0. Эту особенность δфункции обычно называют фильтрующим свойством. При t 0 =0 операторные изображения единичных функций имеют особенно простой вид:

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Переходной характеристикой g(t-t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях: Переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Импульсной характеристикой h(t-t 0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях: Импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса. Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от комплексной частотной и операторной характеристик аргументом переходной и импульсной характеристик является время t, а не угловая ω или комплексная p частота. Так как характеристика цепи, аргументом которых является время, называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными характеристиками, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей Таким образом, импульсная характеристика цепи hkv(t) - это функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой операторную характеристику цепи Hkv(p), а переходная характеристика цепи gkv(t) − функция, операторное изображение которой равно Hkv(p)/p.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие Внешнее воздействие на цепь представляют в виде линейной комбинации однотипных элементарных составляющих: а реакцию цепи на такое воздействие находят в виде линейной комбинации частичных реакций на воздействие каждой из элементарных составляющих внешнего воздействия в отдельности: В качестве элементарных составляющих можно выбирать внешние воздействия, наиболее широкое распространение получили элементарные (пробные) воздействия в виде гармонической функции времени, единичного скачка и единичного импульса.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников энергии, переходная характеристика g(t) которой известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции x=x(t), равной нулю при t

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике Функцию x(t) можно приближенно представить в виде суммы неединичных скачков или, что то же самое, в виде линейной комбинации единичных скачков, смещенных один относительно другого на: В соответствии с определением переходной характеристики реакция цепи на воздействие неединичного скачка, приложенного в момент времени t= k, равна произведению высоты скачка на переходную характеристику цепи g(t- k). Следовательно, реакция цепи на воздействие, представляемое суммой неединичных скачков (6. 114), равна сумме произведений высот скачков на соответствующие переходные характеристики:

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике Очевидно, что точность представления входного воздействия в виде суммы неединичных скачков, как и точность представления реакции цепи, возрастает с уменьшением шага разбиения по времени. При → 0 суммирование заменяется интегрированием: Выражение известно под названием интеграла Дюамеля (интеграла наложения). Используя это выражение можно найти точное значение реакции цепи на заданное воздействие x=x(t) в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование в осуществляется на промежутке t 0

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию цепи на заданное воздействие и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае интервал интегрирования необходимо разбить на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции x=x(t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции x=x(t) в точках разрыва.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Временные и частотные характеристики линейных электрических цепей

Исходные данные

Схема исследуемой цепи:

Значение параметров элементов:

Внешнее воздействие:

u 1 (t)=(1+e - бt) 1 (t) (B)

B результате выполнения курсовой работы необходимо найти:

1. Выражение для первичных параметров заданного четырехполюсника в виде функции частоты.

2. Найти выражение для комплексного коэффициента передачи по напряжению К 21 (jw ) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2 - 2".

3. Амплитудно-частотную К 21 (jw ) и фазочастотную Ф 21 (jw

4. Операторный коэффициент передачи по напряжению К 21 (р) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2-2".

5. Переходную характеристику h(t), импульсную характеристику g(t).

6. Отклик u 2 (t) на заданное входное воздействие в виде u 1 (t)=(1+e - бt) 1 (t) (B)

1. Определим Y параметры для заданного четырехполюсника

I1=Y11*U1+Y12*U2

I2=Y21*U1+Y22*U2

Для облегченного нахождения Y22 найдем А11 и А12 и выразим через них Y22.

Опыт 1. ХХ на зажимах 2-2"

Сделаем замену 1/jwС=Z1, R=Z2, jwL=Z3, R=Z4

Произведем схему замещения цепи

Z11=(Z4*Z2)/(Z2+Z3+Z4)

Z33=(Z2*Z3)/(Z2+Z3+Z4)

U2=(U1*Z11)/(Z11+Z33+Z1)

Опыт 2: КЗ на зажимах 2-2"

Методом контурных токов, составим уравнения.

а) I1 (Z1+Z2) - I2*Z2=U1

б) I2 (Z2+Z3) - I1*Z2=0

Из уравнения б) выразим I1 и подставим в уравнение а).

I1=I2 (1+Z3/Z2)*(Z1+Z2) - I2*Z2=U1

A12=Z1+Z3+(Z1*Z3)/Z2

Отсюда получаем, что

Опыт 2: КЗ на зажимах 2-2"

Составим уравнение по методу контурных токов:

I1*(Z1+Z2) - I2*Z2=U1

I2 (Z2+Z3) - I1*Z2=0

Выразим I2 из второго уравнения и подставим в первое:

Из второго уравнения выразим I1 и подставим в первое:

У взаимного четырехполюсника Y12=Y21

Матрица А параметров рассматриваемого четырехполюсника

2 . Найдем комплексный коэффициент передачи по напряжению К 21 (j w ) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2 -2 ".

Комплексный коэффициент передачи по напряжению К 21 (jw ) определяется отношением:

Найти его можно из системы стандартных основных уравнений для Y параметров:

I1=Y11*U1+Y12*U2

I2=Y21*U1+Y22*U2

Так по условию для холостого хода I2=0 можно записать

Получим выражение:

К 21 (jw )=-Y21/Y22

Произведем замену Z1=1/(j*w*C), Z2=1/R, Z3=1/(j*w*C), Z4=R, получим выражение для комплексного коэффициента передачи по напряжению К 21 (jw ) в режиме холостого хода на зажимах 2-2"

Найдем комплексный коэффициент передачи по напряжению К 21 (jw ) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2-2" в численном виде подставив значения параметров:

Найдем амплитудно-частотную К 21 (jw ) и фазочастотную Ф 21 (jw ) характеристики коэффициента передачи по напряжению.

Запишем выражение для К 21 (jw ) в численном виде:

Найдем расчетную формулу для фазочастотной Ф 21 (jw ) характеристики коэффициента передачи по напряжению как arctg мнимой части к действительной.

В итоге получим:

Запишем выражение для фазочастотной Ф 21 (jw ) характеристики коэффициента передачи по напряжению в численном виде:

Резонансная частота w0=7*10 5 рад/c

Построим графики АЧХ (Приложении 1) и ФЧХ (Приложение 2)

3. Найдем операторный коэффициент передачи по напряжению K 21 x (р) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2 -2 "

операторный напряжение импульсный цепь

Операторная схема замещения цепи по внешнему виду не отличается от комплексной схемы замещения, так как анализ электрической цепи проводится при нулевых начальных условиях. В этом случае для получения операторного коэффициента передачи по напряжению достаточно в выражении для комплексного коэффициента передачи заменить jw оператором р :

Запишем выражение для операторного коэффициента передачи по напряжению К21х(р) в численном виде:

Найдем значение аргумента р n , при которых M(p)=0, т.е. полюса функции К21х(р).

Найдем значения аргумента р k при которых N(p)=0, т.е. нули функции K21x(p).

Составим полюсно-нулевую диаграмму:

Такая полюсно-нулевая диаграмма свидетельствует о колебательно затухающем характере переходных процессов.

Данная полюсно-нулевая диаграмма содержит два полюса и один ноль

4. Расчет временных характеристик

Найдем переходную g(t) и импульсную h(t) характеристики цепи.

Операторное выражении К21 (р) позволяет получить изображение переходной и импульсной характеристик

g(t)чK21 (p)/р h(t)чK21 (p)

Преобразуем изображение переходной и импульсной характеристик к виду:

Определим теперь переходную характеристику g(t).

Таким образом, изображение сведено к следующей операторной функции, оригинал который имеется в таблице:

Таким образом найдем переходную характеристику:

Найдем импульсную характеристику:

Таким образом изображение сведено к следующей операторной функции, оригинал который имеется в таблице:

Отсюда имеем

Рассчитаем ряд значений g(t) и h(t) для t=0ч10 (мкс). И построим графики переходной (Приложение 3) и импульсной (Приложение 4) характеристик.

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи, подсоединим к входным зажимам 1-1" независимый источник напряжения е(t)=u1 (t). Переходная характеристика цепи численно совпадает с напряжением на выходных зажимах 2-2" при воздействии на цепь единичного скачка напряжения e(t)=1 (t) (В) при нулевых начальных условиях. В начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости равны нулю, т.к. по законам коммутации при конечном значении амплитуды входного скачка напряжение на емкости измениться не может. Следовательно, глядя на нашу цепь видно, что u2 (0)=0 т.е. g(0)=0. С течение времени при t стремящимся к бесконечности по цепи будут протекать только постоянные токи, значит конденсатор можно заменить разрывом, а катушку коротко-замкнутым участком, и глядя на нашу схему видно, что u2 (t)=0.

Импульсная характеристика цепи численно совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса напряжения e(t)=1д(t) В. В течение действия единичного импульса входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности, ток в индуктивности скачком увеличивается от нуля до 1/L, а напряжение на емкости не изменяется и равно нулю. При t>=0 источник напряжения может быть заменен короткозамкнутой перемычкой, а в цепи возникает затухающий колебательный процесс обмена энергии между индуктивностью и емкостью. На начальном этапе ток индуктивности плавно уменьшается до нуля, заряжая емкость до максимального значения напряжения. В дальнейшем емкость разряжается, а ток индуктивности плавно возрастает, но в противоположном направлении, достигая наибольшего отрицательного значения при Uc=0. При t стремящимся к бесконечности все токи и напряжения в цепи стремятся к нулю. Таким образом, затухающий с течением времени колебательный характер напряжения на емкости и объясняет вид импульсной характеристики, при чем h(?) равен 0

6. Расчет отклика на заданное входное воздействие

Используя теорему наложения, воздействие можно представить в виде частичных воздействий.

U 1 (t)=U 1 1 +U 1 2 = 1 (t)+e - бt 1 (t)

Отклик U 2 1 (t) совпадает с переходной характеристикой

Операторный отклик U 2 2 (t) на второе частичное воздействие равен произведению операторного коэффициента передачи цепи и изображения экспоненты по Лапласу:

Найдем оригинал U22 (p) согласно таблице преобразований Лапласа:

Определим а, w, b, K:

Окончательно получим оригинал отклика:

Рассчитаем ряд значений и построим график (Приложение 5)

Заключение

В ходе работы рассчитаны частотные временные характеристики цепи. Найдены выражения для отклика цепи на гармоническое воздействие, а также основные параметры цепи.

Комплексно-сопряженные полюса операторного коэффициента по напряжению указывают на затухающий характер переходных процессов в цепи.

Список используемой литературы

1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов - 4-ое изд., исправленное, М. Высш. шк., 2003. - 575 с.: ил.

2. Бирюков В.Н., Попов В.П., Семенцов В.И. Сборник задач по теории цепей/ под ред. В.П. Попова. М.: Высш. шк.: 2009, 269 с.

3. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 2003 г., 831 с.

4. Бирюков В.Н., Дедюлин К.А., Методическое пособие №1321. Методическое указание к выполнению курсовой работы по курсу Основы теории цепей, Таганрог, 1993, 40 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Определение первичных параметров четырехполюсника, коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики коэффициента передачи по напряжению. Анализ отклика цепи на входное воздействие.

курсовая работа , добавлен 24.07.2014


Определение параметров четырехполюсника. Комплексный коэффициент передачи по напряжению. Комплексная схема замещения при коротком замыкании на выходе цепи. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики коэффициента передачи по напряжению.

курсовая работа , добавлен 11.07.2012


Анализ частотных и переходных характеристик электрических цепей. Расчет частотных характеристик электрической цепи и линейной цепи при импульсном воздействии. Комплексные функции частоты воздействия. Формирование и генерирование электрических импульсов.

контрольная работа , добавлен 05.01.2011


Способы получение характеристического уравнения. Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом, с двумя разнородными реактивными элементами. Временные характеристики цепей. Расчет реакции линейной цепи на входное воздействие произвольного вида.

контрольная работа , добавлен 28.11.2010


Расчет комплексного коэффициента передачи по напряжению для четырехполюсника, Определение его переходной характеристики классическим и операторным методом. Вычисление характеристических сопротивлений четырехполюсника, а также его постоянной передачи.

курсовая работа , добавлен 26.11.2014


Построение схем пассивного четырехполюсника, активного четырехполюсника, их каскадного соединения. Нахождение коэффициента передачи по напряжению. Расчет частотных характеристик и переходного процесса в электрической цепи. Анализ цепи в переходном режиме.

курсовая работа , добавлен 23.09.2014


Характеристика методов анализа нестационарных режимов работы цепи. Особенности изучения переходных процессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных процессов, закона изменения напряжения с применением классического и операторного метода.

контрольная работа , добавлен 07.08.2013


Определение амплитудно- и фазо-частотной характеристик (ЧХ) входной и передаточной функций цепи. Расчет резонансных частот и сопротивлений. Исследование модели транзистора с обобщенной и избирательной нагрузкой. Автоматизированный расчет ЧХ полной модели.

курсовая работа , добавлен 05.12.2013


Анализ параметров активного четырехполюсника, составление уравнения электрического равновесия цепи по методу контурных токов. Определение коэффициента передачи по напряжению. Переходная и импульсная характеристики цепи. Определение условий обратимости.

курсовая работа , добавлен 21.03.2014


Расчет линейной электрической цепи при периодическом несинусоидальном напряжении, активной и полной мощности сети. Порядок определения параметров несимметричной трехфазной цепи. Вычисление основных переходных процессов в линейных электрических цепях.

Ранее мы рассматривали частотные характеристики, а временные характеристики описывают поведение цепи во времени при заданном входном воздействии. Таких характеристик всего две: переходная и импульсная.

Переходная характеристика

Переходная характеристика - h(t) - есть отношение реакции цепи на входное ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при условии, что до него в цепи не было ни токов, ни напряжений.

Ступенчатое воздействие имеет график:

1(t) - единичное ступенчатое воздействие.

Иногда используют ступенчатую функцию, начинающуюся не в момент «0»:

Для расчёта переходной характеристики к заданной цепи подключают постоянный ЭДС (если входное воздействие - напряжение) или постоянный источник тока (если входное воздействие - ток) и рассчитывают заданный в качестве реакции переходный ток или напряжение. После этого делят полученный результат на величину источника.

Пример: найти h(t) для u c при входном воздействии в виде напряжения.

Пример : ту же задачу решить при входном воздействии в виде тока

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика - g(t) - есть отношение реакции цепи на входное воздействие в виде дельта - функции к площади этого воздействия при условии, что до подключения воздействия в схеме не было ни токов, ни напряжений.

д(t) - дельта-функция, дельта-импульс, единичный импульс, импульс Дирака, функция Дирака. Это есть функция:

Рассчитывать классическим методом g(t) крайне неудобно, но так как д(t) формально является производной, то найти её можно из соотношения g(t)=h(0)д(t) + dh(t)/dt.

Для экспериментального определения этих характеристик приходится действовать приближённо, то есть создать точное требуемое воздействие невозможно.

На вход падают последовательность импульсов, похожих на прямоугольные:

t ф - длительность переднего фронта (время нарастания входного сигнала);

t и - длительность импульса;

К этим импульсам предъявляют определённые требования:

а) для переходной характеристики:

T паузы должно быть таким большим, чтобы к моменту прихода следующего импульса переходный процесс от окончания предыдущего импульса практически заканчивался;

T и должно быть таким большим, чтобы переходный процесс, вызванный возникновением импульса, тоже практически успевал заканчиваться;

T ф должно быть как можно меньше (так, чтобы за t ср состояние цепи практически не менялось);

X m должна быть с одной стороны такой большой, чтобы с помощью имеющейся аппаратуры можно было бы зарегистрировать реакцию цепи, а с другой: такой маленькой, чтобы исследуемая цепь сохраняла свои свойства. Если всё это так, регистрируют график реакции цепи и изменяют масштаб по оси ординат в X m раз (X m =5В, ординаты поделить на 5).

б) для импульсной характеристики:

t паузы - требования такие же и к X m - такие же, к t ф требований нет (потому что даже сама длительность импульса t ф должна быть такой малой, чтобы состояние цепи практически не менялось. Если всё это так, регистрируют реакцию и изменяют масштаб по оси ординат на площадь входного импульса.

Итоги по классическому методу

Основным достоинством является физическая ясность всех используемых величин, что позволяет проверять ход решения с точки зрения физического смысла. В простых цепях удаётся очень легко получить ответ.

Недостатки: по мере возрастания сложности задачи быстро нарастает трудоёмкость решения, особенно на этапе расчёта начальных условий. Не все задачи удобно решать классическим методом (практически никто не ищет g(t), и у всех возникают проблемы при расчёте задач с особыми контурами и особыми сечениями).

До коммутации, .

Следовательно, по законам коммутации u c1 (0) = 0 и u c2 (0) = 0, но из схемы видно, что сразу после замыкания ключа: E= u c1 (0)+u c2 (0).

В таких задачах приходится применять особую процедуру поиска начальных условий.

Эти недостатки удаётся преодолеть в операторном методе.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Харьковский государственный технический университет радиоэлектроники

Расчетно‑пояснительная записка

к курсовой работе

по курсу «Основы радиоэлектроники»

Тема: Расчёт частотных и временных характеристик линейных цепей

Вариант №34

ВВЕДЕНИЕ	3
ЗАДАНИЕ	4
1 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНОГО ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ	5
1.1 Определение комплексного входного сопротивления цепи	5
1.2 Определение активной составляющей комплексного входного сопротивления цепи	6
1.3 Определение реактивной составляющей комплексного входного сопротивления цепи	7
1.4 Определение модуля комплексного входного сопротивления цепи	9
1.5 Определение аргумента комплексного входного сопротивления цепи	10
2 РАСЧЁТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ	12
2.1 Определение комплексного коэффициента передачи цепи	12
2.2 Определение амплитудно-частотной характеристики цепи	12
2.3 Определение фазочастотной характеристики цепи	14
3 РАСЧЕТ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ	16
3.1 Определение переходной характеристики цепи	16
3.2 Определение импульсной характеристики цепи	19
3.3 Расчет отклика цепи на заданное воздействие методом интеграла Дюамеля	22
ВЫВОДЫ	27
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНЫХ ИСТОЧНИКОВ	28

ВВЕДЕНИЕ

Знание фундаментальных базовых дисциплин в подготовке и формировании будущего инженера-конструктора весьма велико.

Дисциплина «Основы радиоэлектроники» (ОРЭ) относится к числу базовых дисциплин. При изучении данного курса приобретаются теоретические знания и практические навыки по использованию этих знаний для расчета конкретных электрических цепей.

Основная цель курсовой работы – закрепление и углубление знаний по следующим разделам курса ОРЭ:

расчет линейных электрических цепей при гармоническом воздействием методом комплексных амплитуд;

частотные характеристики линейных электрических цепей;

временные характеристики цепей;

методы анализа переходных процессов в линейных цепях (классический, интегралы наложения).

Курсовая работа закрепляет знания в соответствующей области, а тем у кого никаких знаний нет предлагается их получить практическим методом – решением поставленных задач.

Вариант № 34

R1, Ом	4,5	t1, мкс	30
R2, Ом	1590	I1, А	7
R3, Ом	1100
L, мкГн	43
C, пФ	18,8
Реакция

1. Определить комплексное входное сопротивление цепи.

2. Найти модуль, аргумент, активную и реактивную составляющие комплексного сопротивления цепи.

3. Расчет и построение частотных зависимостей модуля, аргумента, активной и реактивной составляющих комплексного входного сопротивления.

4. Определить комплексный коэффициент передачи цепи, построить графики амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик.

5. Определить классическим методом переходную характеристику цепи и построить ее график.

6. Найти импульсную характеристику цепи и построить ее график.

1 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНОГО ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЦЕПИ

1.1 Определение комплексного входного сопротивления цепи

(1)

После подстановки числовых значений получим:

(2)

Специалистов, которые проектируют электронную аппаратуру. Курсовая работа по этой дисциплине - один из этапов самостоятельной работы, который позволяет определить и исследовать частотные и временные характеристики избирательных цепей, установить связь между предельными значениями этих характеристик, а также закрепить знания по спектральному и временному методам расчета отклика цепи. 1. Расчёт...

T, мкс m=100 1.982*10-4 19,82 m=100000 1,98*10-4 19,82 Временные характеристики исследуемой цепи изображены на рис.6, рис. 7. Частотные характеристики изображены на рис. 4, рис. 5. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД АНАЛИЗА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ЦЕПИ НА ИМПУЛЬС С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию цепи на заданное воздействие и в том случае, когда внешнее воздействие на...

ВОЕННАЯ
АКАДЕМИЯ
СВЯЗИ
2 кафедра
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
по учебной дисциплине
«Электроника, электротехника и схемотехника»
Тема № 4 Режим негармонических воздействий в
линейных электрических цепях
Занятие № 17 «Расчет временных характеристик
линейных электрических цепей»
Санкт-Петербург

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Анализ временных характеристик линейных
электрических цепей.
2. Контроль усвоения изученного материала.
ЛИТЕРАТУРА:
Бабкова Л.А., Киселев О.Н. Методические рекомендации к
практическим занятиям и руководство к лабораторным работам по
дисциплине «Основы теории цепей»: Учеб.пособие.– СПб.: ВАС, 2011.
2. Улахович Д.А. Основы теории линейных электрических цепей:
Учеб.пособие. – СПб.: БХВ-Петербург, 2009.
1.

Задача 1

1. Анализ временных характеристик линейных
электрических цепей.
Задача 1
Найти импульсную и переходную характеристики электрического
фильтра нижних частот с максимально плоской АЧХ, если известна
передаточная функция:
1
H (p) 2
.
p 2 p 1

1
h (p) H (p).
p
h (p)
1
p(p 2 p 1)
2
.

2. Определим изображение импульсной характеристики:
g (p) H (p).
Таким образом изображение импульсной характеристики будет
иметь вид:
g (p)
1
p 2 p 1
2
.
Воспользовавшись таблицей соответствий определяем графическое
изображение переходной и импульсной характеристик:

Переходная характеристика
h (p)
1
p(p 2 2 p 1)
Рис1 . График f(t)
A
p(p 2 α1 p α2)

Импульсная характеристика

g (p)
1
p2 2 p 1
A
p 2 α1 p α2

Задача 2

Найти импульсную и переходную характеристики цепи, если известна
ее передаточная функция:
181,8 p
H (p) 2
p 1091 p 1,818 106
1. Определим изображение переходной характеристики
1
h(p) H (p)
p
2. Определим изображение импульсной характеристики:
g (p) H (p).
181,8 p
g (p) 2
p 1091 p 1,818 106

Переходная характеристика
181,1
h(p) 2
p 1091 p 1,818 106
A
2
p α1 p α2

Импульсная характеристика

181,8 p
g (p) 2
6
p 1091 p 1,818 10
Ap
p 2 α1 p α2

Задача 3 Определить переходные и импульсные характеристики цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R и C.

1. Найдем передаточные функции данной цепи для
представленных реакций:
uc (p)
Н1 (p)
;
u1 (p)
uR (p)
Н 2 (p)
.
u1 (p)

2. Найдем значение реакции на элементах С и R.

1
u1 (p)
1
u1 (p)
uc (p) i (p)
;
pC R 1 pC pRC 1
pC
u1 (p)
u1 (p) pRC
uR (p) i(p) R
R
.
1
pRC
1
R
pC

3.Передаточная функция в операторной форме:

1
H1 (p)
;
pRC 1
pRC
H 2 (p)
.
pRC 1
4. Найдем изображения переходных характеристик:
H1 (p)
1
hC (p)
p
p (pRC 1)
1
RC
1
p p
RC
H 2 (p)
RC
1
h R (p)
.
p
pRC 1 p 1
RC
;

4. Изображение импульсных характеристик находим по соотношению:

g (p) H (p)
1
1
g C (p) H1 (p)
RC ;
pRC 1 p 1
RC
1
pRC
1
g R (p) H 2 (p)
1
1 RC .
1
pRC 1
pRC 1
p
RC

Спасибо за внимание!

Допустим, что к цепи приложено ступенчатое воздействие, изображение которого является функция

Допустим, что к цепи приложено ступенчатое воздействие
изображение которого является функция A
p
х(t) A 1(t)
.
x (t)
0 при t 0;
x(t)
A при t 0.
A
t
0
Рис. 1. Ступенчатое воздействие
Тогда операторная передаточная функция будет иметь вид:
y (p) y (p)
y (p)
H (p)
p
.
A
x (p)
A
p
(10)
,

Осуществляя L-преобразование выражения (7), т.е. найдем L-изображение переходной характеристики. В силу свойства линейности

Осуществляя L-преобразование выражения (7), т.е. найдем Lизображение переходной характеристики. В силу свойства линейности
преобразования Лапласа получаем:
1
h (p) T (p).
p
(11)
Это выражение совпадает со вторым сомножителем правой части (10)
и, следовательно, между операторной передаточной функцией и
изображением переходной характеристики h (p) имеется следующая
взаимосвязь:
H (p) ph (p);
1
h (p) T (p).
p
(12)
(13)
Аналогично установим связь между H (p) и изображением
импульсной характеристики g (p) :
y (t)
g (p)
;
Sи

Если же на цепь подается импульсное воздействие, изображение которого равно, то операторная передаточная функция,

Если же на цепь подается импульсное воздействие х(t) Sи (t) ,
изображение которого х (p) равно
, то операторная передаточная
и
функция, соответствующая этому воздействию, имеет вид:
S
y (p) y (p)
H (p)
.
х (p)
Sи
(14)
Это выражение совпадает с функцией изображения импульсной
характеристики цепи. Следовательно,
g (p) H (p).
(15)

Рассмотрим связь между переходной и импульсной характеристиками
цепи. Не трудно заметить, что их изображения связаны соотношением
g (p) ph (p).
Проведя тождественное преобразование последнего равенства
(прибавив
h(0) h(0)) получим:
g (p) ph (p) h(0) h(0).
ph(p) h(p)
Поскольку
представляет собой изображение
произвольной переходной характеристики, то исходное равенство
можно представить в виде
g (p) h(0) L h / (t) .
Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую
определить импульсную характеристику цепи по известной
ее
переходной характеристике, g (t) h(0) (t) h (t).
g
t
h
(t).
Если h(0) 0 , то
Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет
t
вид:
h(t) g (t)dt.
0
(15)

3. Связь между временными и частотными
характеристиками цепи
e t
Для данной цепи определить операторную
передаточную функцию и найти выражения
для ее частотных характеристик
C
C
R
u1 (t) R
u2 (t)
и2 (p)
H (p)
.
e (p)
Рис. 5. Схема RC-цепи
Изображение реакции u2 (p) определим из системы узловых
уравнений, составленных для L-изображений узловых напряжений
u1 (p); u2 (p) :
(2 pC G)u1 (p) pCu2 (p) pCe(p);
pCu1 (p) (pC G)u2 (p) 0.

Отсюда

e (p) p 2
u2 (p)
;
2
G G
2
p 3p 2
C C
2
p
H (p) 2
2
p 3 p
где для упрощения записи введено обозначение
G
.
C
Для нахождения комплексной передаточной функции положим в
последнем выражении p j . Тогда
H (j) 2
.
2
() j3
2

АЧХ определяется модулем полученной функции, а ФЧХ находим
как аргумент
H (j).
H (j)
2
(2 2) 9 2 2
H j
3
() arctg 2
(2)
1
0
а
0
б
Рис. 6. Графики частотных характеристик RC-цепи: а – АЧХ, б – ФЧХ

ВЫВОДЫ:
1. Передаточная функция является L-изображением импульсной характеристики.
2. Передаточная
функция
является
дробно-рациональной
функцией
с
вещественными коэффициентами.
3. Полюсы устойчивой передаточной функции лежат в левой р-полуплоскости.
4. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не
превышают степеней полиномов знаменателей; при невыполнении этого
свойства АЧХ на бесконечно больших частотах (ω → ∞) должна принимать
бесконечно большое значение, поскольку числитель в этом случае растёт
быстрее знаменателя.
5. Частотные характеристики цепи вычисляются по передаточной функции при
p = jω.
6. Квадрат АЧХ является чётной рациональной функцией переменной с
вещественными коэффициентами: H(jω) 2 = H(–jω) 2 .
7. По передаточной функции можно изобразить схему цепи.

.
Вопрос №1 а. Свободные колебания в
последовательном колебательном контуре.
В момент t=0 произошла коммутация,
т.е. ключ (Кл.) из положения 1 перешел в
положение 2.
Заряженная емкость оказалась
подключенной к RL-цепи.
Рассмотрим процессы происходящие в представленной цепи до коммутации
До коммутации емкость С была подключена
параллельно источнику постоянного напряжения Е,
(ключ (Кл.) находился в положении 1).
Напряжение на емкостях равнялось Е.
uC(+0) = uC(-0) = E;
iL(+0) = iL(-0) = 0.

Рассмотрим процессы происходящие в цепи после коммутации
Учитывая, что напряжение на емкости
скачком измениться не может, в соответствии с законом коммутации имеем:
uC(+0) = uC(-0) = E
Начальные условия НЕНУЛЕВЫЕ
Рассмотрим схему замещения цепи для момента времени
По закону Ома в операторной форме,
определим изображение реакции:
E
p
E
E
L
L
i (p)
2
,
2
1
R
1
p 2 p 0
pL R
p2 p
pC
L
LC
где:
0
R

2L
1
LC
-круговая частота собственных колебаний контура без потерь.

При анализе свободных и переходных колебаний в сложных цепях
изображение реакции y (p) представляет собой дробно-рациональную функцию
переменного p с вещественными коэффициентами, которую можно записать в
виде отношения двух полиномов:
M (p) bm p m bm 1 p m 1 bm 2 p m 2 ... b0
y (p)
N (p)
p n a n 1 p n 1 a n 2 p n 2 ... a 0
По основной теореме алгебры полином степени n может быть разложен на n
простых сомножителей, т.е.:
N(p) = (p-p1) (p-p2),…, (p-pn),
где p1, p2, p3,…,pn – корни полинома N(p) или полюсы функции y (p) .
Полином также можно представить в виде произведения m сомножителей:
M(p) = (p-p01) (p-p02) (p-p03),…,(p-p0m).
где p01, p02, p03,…,p0m - корни полинома М(p) или нули функции y (p) .
В силу вещественности коэффициентов ai и bi нули и полюсы изображения y (p)
могут быть вещественными и (или) комплексно-сопряженными.
Ясно, что дислокация полюсов y (p) определяет характер свободных и
переходных колебаний в анализируемой цепи.

Рассмотрим уравнение:
p 2 2 p 02
Оно имеет два корня, (полюсы изображения):
p1,2 2 02
В силу вещественности коэффициентов данного уравнения (δ, ω), полюсы
могут быть вещественные и комплексно-сопряженные.
Поэтому при анализе свободных колебаний в последовательном контуре
возможны три режима колебаний.

Корни уравнения комплексно-сопряженные:
p1,2 j 1
где:
1 02 2 .
такой характер корней имеет место при 0
или R 2
L
.
C
Оригинал для тока в
этом случае будет:
E t
i(t)
e sin 1t ,
1 L

Амплитуда колебания убывает во времени по экспоненциальному закону,
поэтому процесс называют затухающим. Скорость убывания амплитуды
свободных колебаний определяется значением коэффициента затухания δ.
2
Частоту: 1 02 2 0 1 называют частотой собственных
0
затухающих колебаний контура. Она, как видно из формулы, всегда меньше
частоты собственных незатухающих колебаний контура w0 и зависит не только от
значений индуктивности и емкости контура, но и от значения его резистивного
сопротивления.
Период затухающих колебаний:
T
2
2
0
2
.
Коэффициент затухания связан с добротностью контура соотношением:
где: Q
R 0
.
2 L 2Q
0 L
- добротность последовательного контура.
R
Таким образом, колебания в контуре убывают тем медленнее, чем выше его
добротность.

2. Критический режим гармонических колебаний.

p1 p2 ,
.e. 0 ; R 2
T
L
.
C
Режим колебания в контуре, соответствующий кратным корням
характеристического уравнения (полюсами изображения), может
рассматриваться как предельный случай колебательного режима,
когда частота собственных затухающих колебаний в контуре
нулю, а период колебаний становится
1 02 2 равна
бесконечно большим.

имеет вид:
E0 t
i(t)
te
L

Корни уравнения вещественные кратные:
p1,2 ,
где: 2 02 ; .
Первичные
параметры
контура
должны
удовлетворять неравенству:
L
R 2
.
C
Оригинал i(t), соответствующий данному расположению полюсов изображения,
имеет вид:
E
E
i (t)
L(p1 p2)
e p1t
L(p1 p2)
e p2t

Вопрос №1 б. Переходные колебания в последовательном
колебательном контуре.
Начальные условия НУЛЕВЫЕ
E
E
E
p
L
L
i(p)
2
;
2
1
R
1
p
2
p
0
pL R
p2 p C
pC
L
L
uC (p) i(p)
По таблице соответствий:
uC (t) E Ee (cos 1t sin 1t).
1
t
Напряжение на емкости контура
при t→∞ стремится к установившемуся значению, равному
напряжению источника. Следовательно, емкость при t→∞ заряжается до напряжения Е. Процесс
заряда при комплексно-сопряженных полюсах изображения
имеет колебательный характер.
1
LC
.
2
2
pC p(p 2 p 0)

Значение uC(t) в отдельные моменты времени превышают значения напряжения при большой добротности может почти вдвое превосходить ЭДС источника.
При t→∞ значения тока в контуре, напряжений на резистивном элементе и на
индуктивности контура стремятся к нулю, а напряжение на емкости - к ЭДС
источника. Следовательно, цепь переходит в режим постоянного тока. Процесс
установления колебаний происходит тем медленнее, чем выше добротность
контура. Для оценки времени установления можно воспользоваться полученной
ранее формулой:
ty
3 4, 6
,
что соответствует промежутку времени, по истечении которого амплитуда напряжения uC(t) отклоняется от установившегося значения не более чем на 0,05 или 0,01.
Вопрос №2 Свободные и переходные колебания в
параллельном колебательном контуре.
2.1 Свободные колебания в ПрКК
Начальные условия НЕНУЛЕВЫЕ
iL(+0) = iL(-0) = I0
uC(+0) = uC(-0) = u0

I0
Cu0
p
I0
u0 p
C ,
u (p)
2
2
1
p
2
p
0
pC G
pL
G
- коэффициент затухания контура;
2C
1
0
- частота собственных колебаний контура без потерь.
LC
где:
1. Режим затухающих гармонических колебаний.
Первичные параметре контура в этом случае должны удовлетворять неравенству:
G
2C
1
LC
Закон изменения напряжения на контуре в соответствии с таблицей соответствий определяется выражением:
I0
u
0
t
C
u (t) e u0 cos 1t
sin 1t
1

Анализ полученного решения показывает, что
колебания носят затухающий характер, причем
амплитуда
колебания
убывает
по
экспоненциальному закону. Чем больше
коэффициент затухания, тем быстрее затухают
колебания. Как и в последовательном контуре,
частота свободных колебаний:
1 0 1
0
2
0
2
2
всегда меньше частоты собственных незатухающих колебаний контура
2. Критический режим гармонических колебаний.
Такой характер корней имеет место при δ=ω0, когда между первичными параметрами контура выполняется соотношение:
G
2C
1
LC
I0
t
u (t) u0 u0 t e
C

3. Апериодический режим гармонических колебаний.
Этот случай возможен при условии δ=ω0, что соответствует следующему
соотношению между первичными параметрами контура:
G 2
C
.
L
I0
I0
u 0 p1
u0 p2
u (t) C
e p1t C
e p2t
p 2 p1
p 2 p1
Следует заметить, что при G=0 колебания в контуре носят незатухающий характер,
так как контур не рассеивает энергию.

2.2 Переходные колебания в ПрКК
Используя закон Ома в операторной форме, найдем изображения для всех
реакций:
I
p
I
I
C
u (p)
2 C
;
2
1
G
1
p 2 p 0
pC G
p2 p
LC
C
LC
I
G
C
iG (p) u (p)G 2
;
2
p 2 p 0
I
u (p)
LC
iL (p)
;
2
2
pL
p (p 2 p 0)
iC (p) u (p) pC
Ip
.
2
2
p 2 p 0

Закон изменения напряжения в параллельном
колебательном
контуре
аналогичен
закону
изменения тока в последовательном контуре.
Определим временную зависимость тока iC(t).
iC (t) Ie
p
(cos 1t sin 1t).
1
Так как при t=0 напряжение на емкости было равно нулю, то для этого момента
времени следует считать зажимы емкости замкнутыми накоротко. Следовательно,
в момент t=+0 весь ток I протекал через емкость (iC(+0))=I. При t→∞ цепь
переходят в режим постоянного тока, при котором u(∞)=0, iL(∞)=I, iG(∞)=iC(∞)=0.
Чем ниже добротность (больше затухание) контура, тем быстрее заканчивается
переходный процесс.