Исследование операций – это комплексная математическая дисциплина, занимающаяся построением, анализом и применением математических моделей принятия оптимальных решений при проведении операций.

Предмет исследования операций - системы организационного управления или организации, которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений не всегда согласующихся между собой и могут быть противоположны.

Цель исследования операций - количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями

Операция – система управляемых действий, объединенная единым замыслом и направленная на достижение определенной цели.

Набор управляющих параметров (переменных) при проведении операции называется решением . Решение называется допустимым , если оно удовлетворяет набору определенных условий. Решение называется оптимальным , если оно допустимо и, по определенным признакам, предпочтительнее других, или, по крайней мере, не хуже.

Признак предпочтения называется критерием оптимальности.

Критерий оптимальности включает в себя целевую функцию направление оптимизации или набор целевых функций и соответствующих направлений оптимизации.

Целевая функция – это количественный показатель предпочтительности или эффективности решений.

Направление оптимизации - это максимум (минимум), если наиболее предпочтительным является наибольшее (наименьшее) значение целевой функции. Например, критерием может быть максимизация прибыли либо минимизация затрат.

Математическая модель задачи ИО включает в себя:

1) описание переменных, которые необходимо найти;

2) описание критериев оптимальности;

3) описание допустимых решений (ограничений, накладываемых на переменные)

Цель ИО – количественно и качественно обосновать принимаемое решение. Окончательное решение принимает ответственное лицо либо группа лиц, называемое ЛПР – лицо, принимающее решение.

Вектор, удовлетворяющий системе ограничений, называется допустимым решением или планом ЗЛП . Множество всех планов называется допустимой областью или областью допустимых решений . План, который доставляет максимум (минимум), целевой функции называется оптимальным планом или оптимальным решением ЗЛП . Таким образом, решить ЗЛП – значит найти ее оптимальный план.

Привести общую ЗЛП к основной очень просто, используя следующие очевидные правила.

Минимизация целевой функции f равносильна максимизации функции g = – f .

Ограничение в виде неравенства равносильно уравнению при условии, что дополнительная переменная.

Если на некоторую переменную x j не накладывается условие неотрицательности, то делают замену переменной,.

Линия уровня функции f , т. е. линию, вдоль которой эта функция принимает одно и то же фиксированное значение с , т. е. f (x 1 , x 2)= c

Множество точек называется выпуклым , если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки.

В случае двух переменных множество решений линейного неравенства (уравнения) представляет собой полуплоскость (прямую).

Пересечение этих полуплоскостей (и прямых, если в системе ограничений есть уравнения) представляет собой допустимую область. Если она не пуста, то является выпуклым множеством и называется многоугольником решений .

В случае трех переменных допустимая область ЗЛП есть пересечение полупространств и, возможно, плоскостей, и называется многогранником решений

Система линейных уравнений называется системой с базисом , если в каждом уравнении содержится неизвестное с коэффициентом, равным 1, отсутствующее в остальных уравнениях системы. Эти неизвестные называются базисными , остальные – свободными .

Систему линейных уравнений будем называть канонической , если она является системой с базисом и все b i ≥ 0. Базисное решение в этом случае оказывается планом, т. к. его компоненты неотрицательны. Назовем его базисным (или опорным ) планом канонической системы.

ОЗЛП будем называть канонической (КЗЛП), если система линейных уравнений этой задачи – каноническая, а целевая функция выражена только через свободные неизвестные.

Т. Если в симплекс-таблице среди коэффициентов при каком-либо свободном неизвестном имеется хотя бы один положительный элемент, то возможен переход к новой канонической задаче, равносильной исходной, в которой указанное свободное неизвестное оказывается базисным (при этом одно из базисных неизвестных переходит в число свободных).

Теорема 2 . (об улучшении базисного плана) j , а в столбце х j имеется хотя бы один положительный элемент, причем ключевое отношение >0, то возможен переход к равносильной канонической задаче с не хужим базисным планом.

Теорема 3 . (достаточное условие оптимальности) . Если все элементы индексной строки симплекс-таблицы задачи максимизации неотрицательны, то базисный план этой задачи является оптимальным, а с 0 есть максимум целевой функции на множестве планов задачи.

Теорема 4 . (случай неограниченности целевой функции) . Если в индексной строке симплекс-таблицы задачи максимизации содержится отрицательный элемент с j , а в столбце неизвестного х j все элементы неположительны, то на множестве планов задачи целевая функция не ограничена сверху.

Симплекс-метод:

Записываем данную КЗЛП в исходную симплекс-таблицу.

Если все элементы индексной строки симплекс-таблицы неотрицательны, то базисный план задачи является оптимальным (теорема 3).

Если в индексной строке содержится отрицательный элемент, над которым в таблице нет ни одного положительного, то целевая функция не ограничена сверху на множестве планов и задача не имеет решений (теорема 4).

Если над каждым отрицательным элементом индексной строки имеется в таблице хотя бы один положительный, то следует перейти к новой симплекс-таблице, для которой базисный план не хуже предыдущего (теорема 2). С этой целью (см. доказательство теоремы 1)

выбираем в таблице ключевой столбец, в основании которого находится какой-либо отрицательный элемент индексной строки;

выделяем ключевое отношение (минимальное из отношений b i к положительным элементам ключевого столбца), знаменатель которого будет ключевым элементом;

составляем новую симплекс-таблицу; для этого делим ключевую строку (строку, в которой находится ключевой элемент) на ключевой элемент, а затем из всех остальных строк (включая индексную) вычитаем полученную строку, умноженную на соответствующий элемент ключевого столбца (чтобы все элементы этого столбца, кроме ключевого, стали равны 0).

При рассмотрении полученной симплекс-таблицы непременно представится один из трех случаев, описанных в пп. 2, 3, 4. Если при этом возникнут ситуации пп. 2 или 3, то процесс решения задачи завершается, если же возникнет ситуация п. 4, то процесс продолжается.

Если учесть, что число различных базисных планов конечно, то возможны два случая:

через конечное число шагов задача будет решена (возникнут ситуации пп. 2 или 3);

начиная с некоторого шага возникает зацикливание (периодическое повторение симплексных таблиц и базисных планов).

Эти задачи называются симметричными двойственными задачами . Отметим следующие особенности, связывающие эти задачи:

Одна из задач является задачей максимизации, а другая – минимизации.

В задаче максимизации все неравенства – ≤, а в задаче минимизации – ≥.

Число неизвестных одной задачи равно числу неравенств другой.

Матрицы коэффициентов при неизвестных в неравенствах обеих задач являются взаимно транспонированными.

Свободные члены неравенств одной из задач равны коэффициентам при соответствующих неизвестных в выражении целевой функции другой задачи.

Алгоритм построения двойственной задачи.

1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одном смыслу – к каноническому виду.

2. Составить расширенную матрицу системы А, в которую включить столбец b i и коэффициенты целевой функции F.

3. Найти транспонированную матрицу А Т.

4. Записать двойственную задачу.

Теорема 5. Значение целевой функции задачи максимизации для любого ее плана не превосходит значения целевой функции двойственной к ней задачи минимизации для любого ее плана, т. е. имеет место неравенство:

f (x ) ≤ g (y ),

называемое основным неравенством двойственности .

Теорема 6. (достаточное условие оптимальности ). Если для некоторых планов двойственных задач значения целевых функций равны, то эти планы являются оптимальными.

Теорема 7. (основная теорема двойственности ). Если ЗЛП имеет конечный оптимум, то двойственная к ней также имеет конечный оптимум, и оптимальные значения целевых функций совпадают. Если целевая функция одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Теорема 8. (о дополняющей нежесткости ). Для того чтобы допустимые решения и двойственных задач являлись оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

Ценности ресурсов прямой ЗЛП представляет собой значения переменных в оптимальном решении двойственной задачи.

Компоненты оптимального решения двойственной ЗЛП равны соответствующим элементам индексной строки оптимальной симплекс-таблицы прямой задачи, отвечающим дополнительным переменным.

Теорема 11. (критерий оптимальности плана транспортной задачи). Для того чтобы план перевозок) был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовали числа () и (), удовлетворяющие следующим условиям:

а) для всех базисных клеток плана (>0);

б) для всех свободных клеток (=0).

Метод потенциалов

Шаг 1. Проверить является ли данная транспортная задача закрытой. Если да, то перейти ко второму шагу. Если нет, то свести ее к закрытой задаче путем введения либо фиктивного поставщика, либо фиктивного потребителя.

Шаг 2. Найти исходное опорное решение (исходный опорный план) закрытой транспортной задачи.

Шаг 3. Проверить полученное опорное решение на оптимальность:

вычислить для него потенциалы поставщиков u i и потребителей v j

для всех свободных клеток (i , j ) вычислить оценки;

если все оценки неположительны (), то решение задачи окончено: исходный опорный план оптимален. Если среди оценок есть хотя бы одна положительная, то переходим к четвертому шагу.

Шаг 4. Выбрать клетку (i * ,j * ) с наибольшей положительной оценкой и для нее построить замкнутый цикл перераспределения груза. Цикл начинается и заканчивается в выбранной клетке. Получим новое опорное решение, в котором клетка (i * , j * ) окажется занятой. Возвращаемся к третьему шагу.

Через конечное число шагов будет получено оптимальное решение, т. е. оптимальный план перевозок продукции от поставщиков к потребителям.

Точка называется точкой локального максимума , если существует окрестность этой точки такая, что

Необходимые условия оптимальности

Для того, чтобы функция одной переменной имела в точке x * локальный экстремум, необходимо, чтобы производная функции в этой точке была равна нулю,

Для того, чтобы функция имела в точке локальный экстремум, необходимо, чтобы все ее частные производные в этой точке обращались в ноль

Если в точке x * первая производная функции равна нулю, а вторая производная >0, то функция в точке x * имеет локальный минимум, если 2 произв,<0 то функция в точке x * имеет локальный максимум.

Теорема 4. Если функция одной переменной имеет в точке x * производные до (n - 1) порядка, равные нулю, и производная n порялка не равна 0, то тогда,

если n четно, то точка x * является точкой минимума, если,fn(x)>0

точкой максимума, если fn(x)<0.

Если n нечетно, то точка x * – точка перегиба.

Числовая матрица называется матрицей квадратичной формы .

Квадратичная форма (5) называется положительно определенной , если для Q(X) >0 и отрицательно определенной , если для.Q(X)<0

Симметричная матрица A называется положительно определенной , если построенная по ней квадратичная форма (5) положительно определена.

Симметричная матрица называется отрицательно определенной , если построенная по ней квадратичная форма (6) отрицательно определена.

Критерий Сильвестра: матрица является положительно определенной, если все ее угловые миноры больше нуля.

Матрица является отрицательно определенной, если знаки угловых миноров чередуются.

Для того чтобы матрица была положительно определенной, необходимо, чтобы все ее собственные числа были больше нуля.

Собственные числа – корни многочлена .

Достаточное условие оптимальности задается следующей теоремой.

Теорема 5. Если в стационарной точке матрица Гессе положительно определена, то эта точка – точка локального минимума, если матрица Гессе отрицательно определена, то эта точка – точка локального максимума.

Конфликт - это противоречие, вызванное противоположными интересами сторон.

Конфликтная ситуация – ситуация, в которой участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

Игра - это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника, каждый из которых стремится к достижению собственных целей

Правилами игры называют допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели.

Платежом называется количественная оценка результатов игры.

Парная игра – игра, в которой участвуют только две стороны (два игрока).

Игра с нулевой суммой или антагонистическая - парная игра, при которой сумма платежа равна нулю, т. е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.

Выбор и осуществление одного из действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока . Ходы могут быть личными и случайными.

Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре).

Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды).

Стратегия игрока - это однозначный выбор игрока в каждой из возможных ситуаций, когда этот игрок должен сделать личный ход.

Оптимальная стратегия - это такая стратегия игрока, которая при многократном повторении игры обеспечивает ему максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш.

Платежная матрица – полученная матрица A или, иначе, матрица игр ы.

Конечной игрой размерности (m  n) называется игра, определенная матрицей А размерности (m  n).

Максимином или нижней ценой игры назовем число alpa = max(i)(min aij)(j)

а соответствующая ему стратегия (строка) максиминной .

Минимаксом или верхней ценой игры назовем число Beta = min(j)(max aij)i

а соответствующая ему стратегия (столбец) минимаксной .

Нижняя цена игры всегда не превосходит верхнюю цену игры.

Игрой с седловой точкой называется игра для которой. Alp = beta

Ценой игры называется величина, v если.v = alp = beta

Смешанной стратегией игрока называется вектор, каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии.

Теорема 2 . Основная теорема теории матричных игр.

Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях.

Т 3

Если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры  в не зависимости от того, с какими частотами будет применять второй игрок свои стратегии (в том числе и чистые стратегии).

игрой с природой – игра, в которой мы не обладаем информацией о поведении партнера

Риском r ij игрока при выборе стратегии А i в условиях H j называется разность

r ij = b j - a i ,

где b j - максимальный элемент в j - м столбце.

Графом называется совокупность непустого множества, называемого

множеством вершин графа и множества пар вершин, которые называются

ребрами графа.

Если рассматриваемые пар вершин являются упорядоченными, то граф

называется ориентированным (орграф), в противном случае –

неориентированным. В

Маршрутом (путем) в графе, соединяющем вершины А и В, называется

последовательность ребер, первое из которых выходит из вершины А, начало

последующего совпадает с концом предыдущего, а последнее ребро входит в

вершину В.

Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует путь,

их соединяющий. В противном случае граф называется несвязным.

Граф называется конечным, если число его вершин конечно.

Если вершина является началом или концом ребра, то вершина и ребро

называются инцидентными. Степенью (порядком) вершины называется число инцидентных ей ребер

Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе - это путь, проходящий по всем

рѐбрам графа и притом только по одному разу.

Эйлеров цикл - это эйлеров путь, являющийся циклом.

Эйлеров граф - граф, содержащий эйлеров цикл.

Полуэйлеров граф - граф, содержащий эйлеров путь (цепь).

Теорема Эйлера.

Эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда граф связный и в нѐм

отсутствуют вершины нечѐтной степени.

Теорема. Эйлеров путь в графе существует тогда и только тогда, когда граф

связный и число вершин нечѐтной степени равно нулю или двум.

Деревом называется связный граф без циклов, имеющий исходную вершину

(корень) и крайние вершины (степени 1); пути от исходной вершины к крайним вершинам называются ветвями.

Сетью (или сетевым графиком) называется ориентированный конечный

связный граф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную вершину (сток).

Весом пути в графе будем называть сумму весов его ребер.

Кратчайшим путем из одной вершины в другую будем называть путь

минимального веса. Вес этого пути будем называть расстоянием между

вершинами.

Работа – это протяженный во времени процесс, требующий затрат ресурсов,

либо логическая зависимость между двумя или несколькими работами

Событие – результат выполнения одной или нескольких работ

Путь – это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих

начальную и конечную вершины.

Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей

составляющих его работ.

Правила составления сетевых графиков.

1. В сетевом графике не должно быть тупиковых событий (кроме

завершающего), т. е. таких, за которыми не следует ни одной работы.

2. Не должно быть событий (кроме исходного), которым не предшествует хотя

бы одна работа.

3. В сетевом графике не должно быть циклов.

4. Любые два события связаны не более, чем одной работой.

5. Сетевой график должен быть упорядочен.

Любой путь, начало которого совпадает с исходным событием, а конец – с

завершающим, называется полным путем. Полный путь, имеющий максимальную

продолжительность работ, называется критическим путем

Иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества

Описание метода анализа иерархий

Построение матриц парных сравнений

Находим лямбда макс и решаем систему относительно вектора весов

Синтез локальных приоритетов

Проверка согласованности матриц парных сравнений

Синтез глобальных приоритетов

Оценка согласованности всей иерархии

Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) формулируется следующим образом – найти переменные задачи x 1 , x 2 , ..., x n , которые обеспечивают экстремум целевой функции

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования (ЗЛП) называется любой n -мерный вектор X =(x 1 , x 2 , ..., x n), удовлетворяющий системе ограничений равенств и неравенств. Множество допустимых решений задачи образует область допустимых решений D .

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение, при котором целевая функция Z (X ) достигает экстремума.

Каноническая задача линейного программирования (КЗЛП) имеет вид

(1.2)

Она отличается от ОЗЛП тем, что её система ограничений является системой только уравнений и все переменные неотрицательные.

Приведение ОЗЛП к каноническому виду ЗЛП:

Чтобы заменить исходную задачу минимизации на задачу максимизации (или наоборот задачу максимизации на задачу минимизации) достаточно целевую функцию умножить на «-1» и искать максимум (минимум) полученной функции;

Если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных x n +1 ≥ 0 они преобразуются в равенства:

неравенство a i 1 x 1 +…+a in x n ≥ b i заменяется на равенство a i 1 x 1 +…+a in x n + x n +1 = b i ,

неравенство a i 1 x 1 +…+a in x n ≤ b i заменяется на равенство a i 1 x 1 +…+a in x n + x n +1 = b i ;

Если некоторая переменная x k не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательны-ми переменными: x k = x " k – x ” k , где x " k ≥ 0. x ” k ≥ 0.

Графический метод решения ЗЛП с двумя неизвестными

ЗЛП с двумя неизвестными имеет вид:

Метод основан на возможности графического изображения области допустимых решений и нахождении среди них оптимального решения.

Область допустимых решений (ОДР) задачи является выпуклым многоугольником и строится как пересечение (общая часть) областей решений каждого из неравенств ограничений задачи.

Областью решения неравенства a i 1 x 1 +a i 2 x 2 ≤ b i является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая a i 1 x 1 +a i 2 x 2 = b i , соответствующая этому неравенству, делит координатную плоскость. Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на разделяющей прямой подставить в неравенство:

Если неравенство справедливо, то областью решений является полуплоскость, содержащая эту точку;

Если неравенство не справедливо, то областью решений является полуплоскость, не содержащая эту точку.

Для нахождения среди допустимых решений оптимального используются линии уровня.

Линией уровня называется прямая с 1 x 1 +с 2 x 2 = l , где l = const, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Все линии уровня параллельны между собой.

Градиент целевой функции grad Z (X ) задает вектор нормали C = (c 1 , c 2) линий уровня. Целевая функция на линиях уровня возрастает, если линии уровня перемещать в направлении их нормали, и убывает – в противоположном направлении.

Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с ОДР и по отношению к которой ОДР находится в одной из полуплоскостей. ОДР задачи имеет не более двух опорных прямых.

Оптимальное решение ЗЛП лежит на опорной прямой в угловой точке многоугольника ОДР. ЗЛП имеет единственное решение, если опорная прямая проходит через одну угловую точку ОДР, бесконечное множество решений, если опорная прямая проходит через ребро многоугольника ОДР. ЗЛП не имеет решения, если ОДР является пустым множеством (когда система ограничений несовместна) и если ОДР неограниченна в направлении экстремума (целевая функция неограниченна).

Алгоритм графического метода решения ЗЛП с двумя неизвестными:

Построить ОДР.

Построить вектор нормали C = (c 1 , c 2) и линию уровня с 1 x 1 +с 2 x 2 = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору С .

Передвигать линию уровня до опорной прямой в направлении вектора С в задаче на max, или в противоположном направлении – в задаче на min.

Если при перемещении линии уровня в направлении экстремума ОДР уходит в бесконечность, то ЗЛП не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции.

Если ЗЛП имеет оптимальное решение, то для его нахождения решить совместно уравнения прямых, ограничивающих ОДР и имеющих общие точки с опорной прямой. Если экстремум достигается в двух угловых точках, то ЗЛП имеет бесконечное множество решений, принадлежащих ребру ОДР, ограниченному этими угловыми точками. В данном случае вычисляются координаты обеих угловых точек.

Вычислить значение целевой функции в точке экстремума.

Симплекс-метод решения ЗЛП

Симплекс-метод основывается на следующих положениях:

ОДР задачи линейного программирования является выпуклым множеством с конечным числом угловых точек;

Оптимальным решением ЗЛП является одна из угловых точек ОДР. Угловые точки ОДР алгебраически представляют некоторые базисные (опорные) решения системы ограничений ЗЛП.

Базисным (опорным) решением ЗЛП называется такое допустимое решение X 0 =( x 10 , x 20 , ..., x m 0 , 0,…0), для которого векторы условий (столбцы коэффициентов при неизвестных в системе ограничений) линейно независимы.

Ненулевые координаты x 10 , x 20 , ..., x m 0 решения X 0 называются базисными переменными, оставшиеся координаты решения X 0 - свободными переменными. Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга r системы ограничений ЗЛП (числа линейно независимых уравнений в системе ограничений ЗЛП). Далее считаем, что система ограничений ЗЛП состоит из линейно независимых уравнений, т.е. r = m .

Смысл симплекс-метода заключается в целенаправленном переходе от одного опорного решения ЗЛП к другому (т.е. от одной угловой точки ОДР к другой) в направлении экстремума и состоит в последовательности этапов:

Найти начальное опорное решение;

Осуществить переход от одного опорного решения к другому;

Определить критерий достижения оптимального решения или сделать заключение об отсутствии решения.

Алгоритм выполнения Симплекс-метода ЗЛП

Алгоритм симплекс-метода осуществляет переход от одного опорного решения ЗЛП к другому в направлении экстремума целевой функции.

Пусть ЗЛП задана в каноническом виде (1.2) и выполнено условие

b i ≥ 0, i =1,2,…,m , (1.3)

соотношение (1.3) всегда можно выполнить, домножив соответствующее уравнение на «-1» в случае отрицательности b i . Также считаем, что система уравнений в ограничениях задачи (1.2) линейно независима и имеет ранг r = m . При этом вектор опорного решения имеет m ненулевых координат.

Пусть исходная задача (1.2), (1.3) приведена к виду, где базисные переменные x 1 , x 2 , ..., x m выражены через свободные переменные x m + 1 , x m + 2 , ..., x n

(1.4)

На основе этих соотношений построим таблицу 1

Таблица 1.

Таблица 1 называется симплекс-таблицей. Все дальнейшие преобразования связаны с изменениями содержания этой таблицы.

Алгоритм с имплекс-метода :

1. В последней строке Z симплекс-таблицы в задаче на min находят наименьший положительный элемент (в задаче на max - наименьший отрицательный элемент), не считая свободного члена. Столбец, ответствующий этому элементу, называется разрешающим.

2. Вычисляют отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (симплекс-отношение). Находят наименьшее из этих симплекс - отношений, оно соответствует разрешающей строке.

3. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент.

4. Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс - отношений, то выбирают любое из них. То же самое относится к положительным элементам последней строки симлекс - таблицы.

5. После нахождения разрешающего элемента переходят к следующей таблице. Неизвестные переменные, соответствующие разрешающей строке и столбцу, меняют местами. При этом базисная переменная становится свободной переменной и наоборот. Симплекс - таблица преобразуется следующим образом (таблица 2):

Таблица 2

6. Элемент таблицы 2, соответствующий разрешающему элементу таблицы 1, равен обратной величине разрешающего элемента.

7. Элементы строки таблицы 2, соответствующие элементам разрешающей строки таблицы 1, получаются путем деления соответствующих элементов таблицы 1 на разрешающий элемент.

8. Элементы столбца таблицы 2, соответствующие элементам раз­решающего столбца таблицы 1, получаются путем деления соответствующих элементов таблицы 1 на разрешающий элемент и берутся с противоположным знаком.

9. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника : мысленно вычерчиваем прямоугольник в таблице 1, одна вершина которого совпадает с разрешающим элементом (Рэ), а другая – с элементом, который мы ищем; обозначим элемент в новой таблице 2 через (Нэ), а элемент, стоящий на этом же месте в старой таблице 1 – через (Сэ). Остальные две вершины А и В дополняют фигуру до прямоугольника. Тогда искомый элемент Нэ из таблицы 2 равен Нэ = Сэ – А*В/Рэ.

10. Критерий оптимальности. Как только получится таблица, у которой в последней строке в задаче на min все элементы отрицательны (в задаче на max все элементы положительны), считается, что экстремум найден. Оптимальное значение целевой функции равно свободному члену в строке Z, а оптимальное решение определяется свободными членами при базисных переменных. Все свободные переменные полагаются равными нулю.

11.Если в разрешающем столбце все элементы отрицательны, то задача не имеет решений (минимум не достигается).

Метод искусственного базиса решения ЗЛП

Алгоритм симплекс-метода применим, если выделено какое-либо опорное решение ЗЛП, т. е, исходная ЗЛП (1.2) приведена к виду (1.4). Метод искусственного базиса предлагает процедуру построения такого опорного решения.

Метод искусственного базисаоснован на введении искусственных базисных переменных y 1 , y 2 ,…, y m , с помощью которых система ограничений ЗЛП (2.2)

(1.5)

может быть преобразована к виду

(1.6)

Системы (1.5) и (1.6) будут эквивалентны в том случае, если все y i будут равны нулю. Как и раньше мы считаем, что все b i ≥ 0. Для того чтобы у i были равны 0, мы должны преобразовать задачу таким образом, чтобы все искусственные базисные переменные y i перешли в свободные переменные. Такой переход можно сделать алгоритмом симплекс метода относительно дополнительной целевой функции

F (y ) = y 1 + y 2 + ... + y m = d 0 – (d 1 x 1 + d 2 x 2 +…+d n x n). (2.7)

Исходная симплекс таблица для данного метода имеет вид

Сначала симплекс таблица преобразуется относительно целевой функции F (y ) до получения опорного решения. Опорное решение найдено, когда выполнен следующий критерий: F (y ) = 0 и все искусственные переменные у i переведены в свободные переменные. Затем из симплекс таблицы вычеркивается строка для F (y ) и столбцы для у i и решают задачу для исходной целевой функции Z (x ) до получения оптимального решения.

Выпуклые множества и их свойства. Для того, чтобы изучить свойства ЗЛП, необходимо дать строгое определение выпуклого множества. Ранее выпуклое множество определялось как множество, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит отрезок, их соединяющий.

Обобщением понятия отрезка для нескольких точек является их выпуклая линейная комбинация.

Точка Х называетсявыпуклой линейной комбинацией точек , если выполняются условия

Множество точек являетсявыпуклым, если оно вместе с лю­быми своими двумя точками содержит их произвольную выпуклую, линейную комбинацию.

Можно доказать следующую теорему о представлении выпуклого многогран­ника.

Теорема 1.1. Выпуклый п-мерный многогранник является выпук­лой линейной комбинацией своих угловых точек.

Из теоремы 1.1 следует, что выпуклый многогранник порождается своими угловыми точками или вершинами: отрезок – двумя точками, треугольник – тремя, тетраэдр – четырьмя точками и т.д. В то же время выпуклая многогранная область, являясь неограниченным множеством, не определяется однозначно своими угловыми точками: любую ее точку нельзя представить в виде выпуклой линейной комбинации угловых точек.

Свойства задачи линейного программирования. Ранее были рассмотрены различные формы задачи линей­ного программирования и показано, что любая задача линейного программирования может быть представлена в виде общей или канонической задачи.

Для обоснования свойств задачи линейного программирования и методов ее решения целесообразно рассмотреть еще два вида записи канонической задачи.

Матричная форма записи:

Здесь С – матрица-строка, А – матрица системы, Х – матри­ца-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов:

Векторная форма записи:

где векторы соответствуют столбцам коэффициентов при неизвестных.

Выше была сформулирована, но не доказана в общем виде следующая теорема.

Теорема 1.2. Множество всех допустимых решений системы ог­раничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Доказательство: Пусть - два допустимых решения ЗЛП, заданной в матричной форме. Тогда и . Рассмотрим выпуклую линейную комбинацию решений , т.е.

и покажем, что она также является допустимым решением систе­мы (1.3). В самом деле

т.e. решение X удовлетворяет системе (1.3). Но так как , то и Х >0, т.е. решение удовлетворяет условию неотрицательности.

Итак, доказано, что множество всех допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым, а точнее, представляет выпуклый многогранник или выпуклую многогранную область, которые в дальнейшем будем называть одним термином – многогранником решений.

Ответ на вопрос, в какой точке многогранника решений воз­можно оптимальное решение задачи линейного программирова­ния, дается в следующей фундаментальной теореме.

Теорема 1.3. Если задача линейного программирования имеет оп­тимальное решение, то линейная функция принимает максимальное значение в одной из угловых точек многогранника решений. Если ли­нейная функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Доказательство: Будем полагать, что многогранник решений является огра­ниченным. Обозначим его угловые точки через , а оптимальное решение - через X* . Тогда F(X*) ³ F(X) для всех то­чек Х многогранника реше­ний. Если X* – угловая точка, то первая часть тео­ремы доказана.

Предположим, что X* не является угловой точкой, тогда на основании теоре­мы 1.1 X* можно предста­вить как выпуклую линей­ную комбинацию угловых точек многогранника ре­шений, т.е.

Так как F(X) – линейная функция, получаем

В этом разложении среди значений выбе­рем максимальное. Пусть оно соответствует угловой точке X k (1 £ k £ р) ; обозначим его через М, т.е. . Заменим в выражении (1.5) каждое значение этим максимальным значением М. Тогда

По предположению Х * – оптимальное решение, поэтому, с одной стороны, ,но, с другой стороны, доказано, что
F(X*) £ М, следовательно, , где X k – угловая точка. Итак, существует угловая точка X k , в которой линейная функция принимает максимальное значение.

Для доказательства второй части теоремы допустим, что целевая функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, например, в точках , где , тогда

Пусть Х – выпуклая линейная комбинация этих угловых точек, т.е.

В этом случае, учитывая, что функция F(X) – линейная, полу­чим

т.е. линейная функция F принимает максимальное значение в произвольной точкеХ , являющейся выпуклой линейной комбинацией угловых точек.

Замечание. Требование ограниченности многогранника решений в теореме является существенным, так как в случае неограниченной многогранной области, как отмечалось в теореме 1.1, не каждую точку такой области можно представить выпуклой линейной комбинацией ее угловых точек.

Доказанная теорема является фундаментальной, так как она указывает принципиальный путь решения задач линейного про­граммирования. Действительно, согласно этой теореме вместо исследования бесконечного множества допустимых решений для нахождения среди них искомого оптимального решения необхо­димо исследовать лишь конечное число угловых точек много­гранника решений.

Следующая теорема посвящена аналитическому методу нахождения угловых точек.

Теорема 1.4. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка многогранника решений, и наоборот, каждой угловой точке многогранника решений соответствует допустимое базисное решение.

Доказательство: Пусть – допустимое базисное решение системы ограничений ЗЛП (1.4), в котором первые т компонент - основные переменные, а остальные п - т компо­нент – неосновные переменные, равные нулю в базисном реше­нии (если это не так, то соответствующие переменные можно перенумеровать). Покажем, что Х

Предположим противное, т.е. что Х не является угловой точ­кой. Тогда точку Х можно представить внутренней точкой отрез­ка, соединяющего две различные, не совпадающие с X, точки

другими словами, – выпуклой линейной комбинацией точек многогранника решений, т.е.

где (полагаем, что , ибо в противном случае точка Х совпадает с точкой Х 1 или Х 2).

Запишем векторное равенство (1.6) в координатной форме:

Т.к. все переменные и коэффициенты неотрицательны, то из последних п-т равенств следует, что , т.е. в решениях Х 1 , Х 2 и Х системы уравнений (1.4) значения п - т компонент равны в данном случае нулю. Эти компоненты можно считать значениями неосновных переменных. Но значения неосновных переменных однозначно определяют значения основных, следовательно,

Таким образом, все п компонент в решениях Х 1 , Х 2 и Х совпада­ют, и значит, точки Х 1 и Х 2 сливаются, что противоречит допуще­нию. Следовательно, X – угловая точка многогранника решений.

Докажем обратное утверждение. Пусть – угловая точка многогранника решений и первые ее т координат положительны. Покажем, что Х – допустимое базис­ное решение. не является угловой точкой, что противоречит условию. Следовательно, наше допуще­ние неверно, т.е. векторы линейно независимы и Х – допустимое базисное решение задачи (1.4).

Из теорем 1.3 и 1.4 непосредственно вытекает важное следст­вие: если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает, по крайней мере, с одним из ее допусти­мых базисных решений.

Итак, оптимум линейной функции задачи линейного программиро­вания следует искать среди конечного числа ее допустимых базисных решений.

Рассмотрим основную задачу линейного программирования (ОЗЛП): найти неотрицательные значения переменных x1, x2, …, xn, удовлетворяющие m условиям - равенствам

и обращающие в максимум линейную функцию этих переменных

Для простоты предположим, что все условия (1) линейно независимы (r=m), и будем вести рассуждения в этом предположении.

Назовём допустимым решением ОЗЛП всякую совокупность неотрицательных значений x1, x2, …, xn, удовлетворяющую условиям (1).Оптимальным назовём то из допустимых решений, которое обращает в максимум функцию (2). Требуется найти оптимальное решение.

Всегда ли эта задача имеет решение? Нет, не всегда.

ЗЛП неразрешима (не имеет оптимального решения):

Из-за несовместности системы ограничений. Т.е. система не имеет ни одного решения, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 - Несовместность системы ограничений

Из-за неограниченности целевой функции на множестве решений. Другими словами при решении ЗЛП на max значение целевой функции стремится к бесконечности, а в случае ЗЛП на min - к минус бесконечности, как показано на рисунке 2.

Рисунок 2 - Неограниченность целевой функции на множестве решений

ЗЛП разрешима:

Множество решений состоит из одной точки. Она же и является оптимальной, как показано на рисунке 3.

Рисунок 3 - Множество решений состоит из одной точки

Единственное оптимальное решение ЗЛП. Прямая, соответствующая целевой функции в предельном положений пересекается с множеством решений в одной точке, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4 - Единственное оптимальное решение

Оптимальное решение ЗЛП не единственно. Вектор N перпендикулярен к одной из сторон множества решений. В этом случае оптимальной является любая точка на отрезке АВ, как показано на рисунке 5.

Рисунок 5 - Оптимальное решение не единственно

Решение задач линейного программирования симплекс-методом

Симплекс-метод - алгоритм решения задачи ЛП, реализующий перебор угловых точек области допустимых решений в направлении улучшения значения целевой функции С. Симплекс-метод является основным в линейном программировании.

Использование этого метода в дипломном проекте для решения задачи ЛП обусловлено следующими факторами:

Метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме;

Алгоритмический характер метода позволяет успешно программировать и реализовать его с помощью технических средств.

Экстремум целевой функции всегда достигается в угловых точках области допустимых решений. Прежде всего, находится какое-либо допустимое начальное (опорное) решение, т.е. какая-либо угловая точка области допустимых решений. Процедура метода позволяет ответить на вопрос, является ли это решение оптимальным. Если «да», то задача решена. Если «нет», то выполняется переход к смежной угловой точке области допустимых решений, где значение целевой функции улучшается. Процесс перебора угловых точек области допустимых решений повторяется, пока не будет найдена точка, которой соответствует экстремум целевой функции .

Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен, то возможно выбрать неизвестных, которые выражают через остальные неизвестные. Для определенности обычно полагают, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными. Количество базисных переменных всегда равно количеству ограничений.

Присваивая определенные значения свободным переменным, и вычисляя значения базисных (выраженных через свободные), получают различные решения системы ограничений. Особый интерес представляют решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Оно соответствует всем ограничениям.

Имея систему ограничений, находят любое базисное решение этой системы. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то осуществляется переход к другому допустимому базисному решению.

Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении линейная форма если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, которое является оптимальным.

Если первое найденное базисное решение окажется недопустимым, то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям, пока на каком-то шаге решения базисное решение окажется допустимым, либо можно сделать вывод о противоречивости системы ограничений.

Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа:

Нахождение допустимого базисного решения системы ограничений или установление факта ее несовместности;

Нахождение оптимального решения в случае совместности системы ограничений.

Алгоритм перехода к следующему допустимому решению следующий:

В строке коэффициентов целевой функции выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании максимума. Порядковый номер коэффициента - . Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным;

Среди элементов матрицы с номером столбца (этот столбец называется ведущим, или разрешающим) выбираются положительные элементы. Если таковых нет, то целевая функция неограничена на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;

Среди выбранных элементов ведущего столбца матрицы выбирается тот, для которого величина отношения соответствующего свободного члена к этому элементу минимальна. Этот элемент называется ведущим, а строка, в которой он находится - ведущей;

Базисная переменная, отвечающая строке ведущего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу ведущего элемента, вводится в число базисных. Строится новое решение, содержащее новые номера базисных переменных.

Условие оптимальности плана при решении задачи на максимум: среди коэффициентов целевой функции нет отрицательных элементов .

Трудно найти иголку в

стоге сена, но еще труднее

найти конкретную соломинку

в этом стоге.

Аж-Гриндер

Хорошие указания приносят

не меньшую пользу,

чем хорошие примеры.

Сенека

Решение - задачи принятия решений - управленческое решение - факторы процесса принятия решений - допустимое решение - оптимальное решение - структурированные проблемы - слабо структурированные проблемы - неструктурирован- ■ ные проблемы - «новая» парадигма - операционально замкнутая система - собственное поведение системы - регулярное управление - управление изменениями - самоорганизация - экологич-ность управления

Проблемы, связанные с отысканием способов достижения поставленных целей с учетом имеющихся возможностей, т.е. проблемы принятия решений, пронизывают всю человеческую практику (и общественную, и личную) и поэтому отличаются большим разнообразием. Исходя из этого, рассмотрим некоторые общие теоретические вопросы, которые могут быть взяты в качестве современной методологической основы не только для принятия государственных управленческих решений. Они также оказываются полезными при принятии управленческих решений в различных сферах бизнеса, в так называемом третьем секторе, представляющем собой все общественные организации, в каждой отдельно взятой организации как со сложной структурой (транснациональные корпорации, холдинги, финансово-промышленные группы и другие объединения), так и с традиционными структурами (функциональной, линейно-функциональной и т.п.).

В специальной литературе можно встретить различные трактовки термина «решение». Решение понимается и как результат выбора, и как процесс, и как акт выбора. Эти трактовки самого понятия «решение» не противоречат, а только дополняют друг друга, расставляя по-разному акценты в зависимости от контекста исследований и конкретной управленческой деятельности. Так, рассматривая решение как процесс, протекающий во времени, можно говорить о его этапах. Решение как результат выбора - это уже предписание к действию, а как акт выбора - творческая составляющая управленческой деятельности, которая рассматривает решение неотделимо от такого понятия, как «властная воля». Таким образом, под решением понимаются одновременно и процесс, и результат, и акт выбора цели и способ ее достижения.

В зависимости от основания классификации выделяют следующие задачи принятия решений:

Структурированные, слабо структурированные и неструктурированные;

Уникальные и повторяющиеся;

Статические и динамические;

В условиях определенности и в условиях неопределенности (в частности, при риске, при противодействии);

С фиксированным набором альтернатив (вариантов решений, стратегий) и с формируемым в процессе принятия решений;

С одним критерием (целевой функцией, показателем качества или эффективности) и со многими (несколькими) критериями;

а также рассматривают:

Задачи выбора одной наилучшей (оптимальной) альтернативы или же выделение нескольких лучших альтернатив, ранжирование (разбивку на упорядоченные классы) всех или только выделяемых лучших альтернатив;

Индивидуальные и коллективные решения;

Волевые, интеллектуальные и эмоциональные решения;

Технические, технологические и т.п.;

Оперативные, тактические и стратегические;

Рутинные и уникальные;

Интуитивные и рациональные;

Сложные и простые, и т.д.

Процессы принятия управленческих решений занимают в управленческой деятельности центральное место. Заметим, что не всякое решение является управленческим, а только такое, которое, во-первых, является результатом выбора между несколькими альтернативами, в большинстве случаев приблизительно равноценными с точки зрения принимающего решение, а во-вторых, когда результат выбора как социальное явление влияет на других людей и воспринимается ими в качестве обязательного к исполнению. Если не выполняется первое условие, то принимаемое решение или продиктовано другими людьми, или обстоятельствами, не зависящими от лица, принимающего решение. В этом случае имеем дело с так называемым ритуальным

управлением. В случае невыполнения второго условия имеет место управленческая утопия, а нереальное управление.

Процесс принятия решения как неотъемлемая составляющая каждой из функций управления предполагает наличие следующих факторов:

1. Лицо, принимающее решение (ЛПР) - человек или группа людей, наделенных необходимыми полномочиями для принятия решения и несущих за него ответственность.

2. Управляемые переменные, охватываемые проблемой ситуации, т.е. совокупность факторов и условий, вызывающих появление той или иной проблемы, которыми может управлять ЛПР.

3. Неуправляемые переменные - охватываемые проблемой ситуации, которыми не может управлять ЛПР, но которыми могут управлять другие лица. В совокупности с управляемыми переменными неуправляемые переменные могут влиять на результат выбора, образуя фон проблемы или ее окружающую среду.

4. Ограничения (внутренние и внешние) на значения управляемых и неуправляемых переменных, которые в совокупности определяют область допустимых решений.

5. Критерий (или критерии) для оценки альтернативных вариантов решения. Критерий может быть задан количественной моделью или качественно (в терминах индивидуальных предпочтений или в терминах нечеткой логики).

6. Решающее правило (или система решающих правил) - принципы и методы выбора решения, в результате применения которых получают рекомендации или рекомендуемое решение (хотя окончательный выбор остается за ЛПР).

7. Альтернативы (возможные исходы), зависящие как от значений качественных или количественных управляемых и неуправляемых переменных, так и от самого выбора.

8. Решение, предполагающее существование по крайней мере двух альтернатив поведения (исходов); в противном случае проблемы принятия решения не возникает ввиду отсутствия выбора.

9. Возможности реализации выбранного или принятого решения. Функцию принятия решений можно рассматривать как задачу, которую

(хотя и с разным содержанием) постоянно приходится решать в процессе управленческой деятельности и которая имеет следующую постановку: определить наилучший способ действий для достижения поставленных целей. Здесь под целью понимаются как видение желаемого состояния управляемой системы, так и результат правильной (в определенном смысле) управленческой деятельности. При этом имеется проблема, если желаемое состояние системы не соответствует фактическому. Проблема на своем фоне (совокупность проблемы и ситуации) представляет собой проблемную ситуацию. Для разрешения проблемной ситуации ЛПР стремится выбрать «самое хорошее», оптимальное в определенном смысле решение, надеясь, что оно сохранит это свойство и в перспективе. Если же решение принимается в условиях неопределенности (имеется избыток или недостаток информации, несколько критериев оценки альтернатив и т.п.), то имеет смысл говорить о решениях, оптимальных, по В. Парето (итальянский экономист), которые следует искать среди неулучшаемых альтернатив.

Решение задачи называют допустимым, если оно удовлетворяет огра-ничениям, связывающим как управляемые, так и неуправляемые переменные. Допустимое решение называют оптимальным, если оно обеспечивает желаемый экстремум критерия выбора.

Проблемы, для которых зависимости между переменными выявлены так, что могут быть представлены числами или формализованы таким образом, что также допускают в конце концов численные оценки, определяются как структурированные (или количественно сформулированные). Проблемы, содержащие лишь название важнейших характеристик, ресурсов и при-" знаков, количественные зависимости между которыми не определены, называют неструктурированными (качественно выраженными). Проблемы, которые содержат как качественные, так и количественные элементы, причем качественные и неопределенные аспекты проблемы имеют тенденцию усиливаться, называют слабо структурированными. Модель (описание) слабо-! структурированных проблем может быть построена только на основании дополнительной информации, получаемой от человека или группы лиц, участвующих в решении такой проблемы, для компонентов которой характерньи нечеткость, многовариантность и приближенный (хотя и с сохранением структуры) вид описания.

Если описание (или модель) проблемной ситуации содержит динамическую систему взаимозависимостей между большим количеством переменных: большой размерности с наличием нелинейных связей между ними, а также случайных факторов, то такая проблемная ситуация определяется как слож-, нал. Если же задача статическая, небольшой размерности, с отсутствием нелинейностей и случайных факторов, то такую задачу классифицируют как, простую задачу. Заметим, что термин «сложность» относится именно к описанию проблемной ситуации, а не к природе решаемой проблемы.

Хотя задачи принятия решений сопровождают человечество с момента его зарождения, систематическое их изучение началось лишь в XX в. В последние десятилетия было ясно осознано, что проблема принятия решений междисциплинарна и требует системного подхода. Поэтому в настоящее: время интенсивно разрабатываются тесно связанные между собой математическая, психологическая, организационная, информационная и другие теорий

принятия решений. Проблема принятия решений в управлении социальными процессами представляется настолько сложной, что наряду с использованием системного подхода требует для своего решения установления связей между идеями различных научных дисциплин, философских традиций, часто выходя за пределы науки в ее традиционном понимании и порождая элементы нового видения реальности. Следовательно, речь идет о проникновении «новой» парадигмы в управленческую теорию и практику.

Известно, что в первые десятилетия нашего века физические исследования, по словам физика, лауреата Нобелевской премии Ф. Капры, «привели в соприкосновение со странной и неожиданной реальностью, поколебавшей у физиков основания их мировоззрения и заставившей их мыслить совершенно по-новому. Мир, который они наблюдали, не представлялся более машиной, состоящей из множества отдельных объектов, он был неделимым целым: сетью отношений, которые необходимым образом включали наблюдателя. Стремясь постичь природу явлений, ученые не могли не обнаружить, что их основные понятия, язык, весь способ мышления не годятся для описания открывшейся реальности». В течение последних 30 лет стали говорить о парадигмах и об их смене даже вне науки. Например, так называемая новая (или «третья») парадигма считается, порожденной первой и второй парадигмами. Охарактеризуем очень кратко каждую из них.

В основе первой парадигмы мышления лежит проектирование внешнего мира человека на его внутренний мир которое иррационально, интуитивно, бессознательно. Особую роль играют умения, навыки, ритуалы. Это мифологический образ мышления. В основе второй парадигмы - рациональный подход с линейными причинно-следственными связями. Здесь появляются изобретательство, конструирование. Сформировано представление о Мире как о часовом механизме - механистическое представление мира. В процессах анализа и моделирования сложных систем появилось понятие обратной связи с акцентом на отрицательные обратные связи. В рамках второй парадигмы возникает техногенное производство («механическая жизнь»). Синтаксисом этой парадигмы является математический анализ. Моделирование процессов основывается на понятии «непрерывность», приводящем к так называемой дурной бесконечности и ряду логических парадоксов. Третья, или новая парадигма представляет собой коммуникацию первой и второй парадигм, где в основе лежит принцип равновесия между рациональным и иррациональным, сознательным и бессознательным, научным знанием и интуицией. В рамках третьей парадигмы осуществляется как бы возврат проекции внешнего мира на внутренний мир человека, а сама парадигма понимается как совокупность мыслей, восприятий и ценностей, которые создают определенное видение реальности, оказывающееся основой самоорганизации общества. В третьей парадигме используется синтаксис квантовой механики с собственными значениями и собственными функциями. Механистическая модель мира уступает место биологической с описанием сложных систем как живых. Таким образом, освоение новой («третьей») парадигмы является одной из возможностей формирования современной методологии деятельности, включающей принятие компетентных решений при интегрировании имеющегося опыта, интуиции с достижениями современной науки, накопленными за последние 40-50 лет.

При современном рациональном подходе рекомендации (или изменения типа «сверху - вниз»), казалось бы, оптимальные с рациональной точки зрения, если априори и не обречены на неудачу, то со временем превращаются в разбухшие, искаженные версии первоначальных планов, а отсутствие ясности преобразует бюрократические организации в механизмы для ухода от ответственности. Инструментами новой управленческой парадигмы могут служить «мягкие» аналитические методы, а также «мягкие» технологии принятия решений и «мягкие» управленческие технологии.

Системы управления организацией могут быть описаны по-разному. Описание системы как хорошо отлаженного механизма достаточно эффективно, но имеет ряд недостатков. При этом функционирование организации ориентировано на достижение конечной цели, а сам процесс достижения рассматривается как инструмент или как одна из возможных альтернатив. При отсутствии ясно сформулированной цели такой подход к ее достижению представляется весьма затруднительным и туманным.

Социальная система является сложной системой. Эта сложность усиливается еще и тем, что субъект управления такой системой сам включен в управляемую систему, привнося тем самым в нее еще большую непредсказуемость, неопределенность своими субъективными, эмоциональными реакциями, своими описаниями-и представлениями о самой этой системе, также являющимися атрибутами управляемой системы. Другими словами, принципиальным для таких систем является наличие включенного в систему наблю-" дателя. Встать в позицию внешнего наблюдателя по отношению к социальной системе представляется (даже из чисто теоретических рассуждений) проблематичным. На языке «управляющий - система» это означает, что управляющий включен в систему и, управляя системой, управляет самим собой. Более того, говорить, что управляющий управляет системой, также верно, как и то, что система управляет управляющим.

Одним из наиболее важных результатов такого описания является понимание того, что управление неотделимо от системы и никакая группа-управляющих не составляет изолированного блока. Каждый управляющий находится внутри системы, связан с ней сложной сетью взаимодействий и,; можно сказать, что он управляет собой в структуре системы. Эта замкнутая ситуация лежит в основе многих парадоксов, включая один из древнейших

парадоксов Эпименида о брадобрее, которому было приказано брить тех, кто не бреет себя сам. Проблемы не существует до тех пор, пока не возникает вопрос о том, что делать самому брадобрею. Тогда имеем неразрешимую проблему: если брадобрей будет брить себя сам, то он не должен себя брить, если же он не будет себя брить, то должен себя брить, т.е. из любой из этих посылок следует ее отрицание и, следовательно, утверждение совпадает со своим отрицанием. Аналогичен этому парадокс лжеца: житель острова говорит, что каждый, живущий на острове, - лжец. В математике известен парадокс Рассела: множество всех множеств, не содержащих себя в качестве своего элемента. Математика объясняет возникновение парадоксов непредикативностью определений, когда то, что определяется, принимает участие в собственном определений. Если наблюдатель является частью наблюдаемой им системы, а управляющий управляет собой в составе организации, то можно увидеть непредикативность и парадоксальность такой ситуации. В этом случае говорят, что имеется семантическая петля, а систему называют операционально замкнутой (или живой). Из этого тупика намечается выход: появляются новые подходы к структурированию ситуаций такого рода на основе современных математических подходов, использующих многозначные логики, нечеткие множества, фрактальные структуры, современные (формальные и неформальные) методы анализа данных и т.п. Операционально замкнутые системы занимают как бы промежуточное положение между открытыми и замкнутыми системами. С одной стороны, они могут реагировать на входной сигнал, что делает их похожими на открытые системы, с другой стороны, они - «непослушные» системы, системы с «характером», с «настроением» или, как говорят, обладают внутренним состоянием. Уместно вспомнить известный из психологии пример, когда, глядя на один и тот же рисунок, одни люди видят профили двух человеческих лиц, расположенных друг против друга, а другие -контур вазы для цветов. Простейшими формальными моделями таких систем являются нетривиальная машина У. Эшби и биологические автоматы известного советского математика М. Цетлина.

Живые системы реагируют на входящий сигнал в зависимости от своего внутреннего состояния. При этом воздействие среды на систему может порождать континуум реакций (т.е. столько реакций, сколько существует точек на прямой), так что с позиций теоретического внешнего наблюдателя такая ситуация может рассматриваться как отсутствие реакции на входящий сигнал (свойство автономии). Считается, что окружающая среда влияет на систему только как источник модуляций, вызывающих спонтанные изменения структуры внутренних связей в ограничениях, налагаемых организацией системы. Поэтому реакции системы на одинаковые, с точки зрения внешнего наблюдателя, воздействия среды могут быть совершенно различными и, вообще говоря, не являться реакциями. Это происходит не только потому, что поведение системы определяется в основном текущим состоянием структуры, невидимой внешнему наблюдателю, но и от того, что некоторый входящий сигнал, зафиксированный наблюдателем, может не восприниматься системой как входящий, и наоборот.

Операционально замкнутая система функционирует согласно двум принципам самоорганизации:

Операционально замкнутая система обладает собственным поведением;

Операционально замкнутая система изменяется путем естественного дрейфа.

Собственное поведение системы - это такое особое состояние системы, которое в процессе функционирования становится результатом стабилизации последовательности ее состояний. Так, если в качестве примера рассматривать процесс обсуждения государственными служащими некоторой проблемы, то собственное поведение системы можно интерпретировать как ситуацию «договоренности» или «разрешения» этой проблемы. Если рассматривать совокупность состояний системы в процессе ее функционирования как бесконечную последовательность, то можно показать, что в качестве своего предела она имеет собственное поведение системы, которое, оказывается, в соответствии с полученным математическим соотношением совпадает с самим процессом, т.е. в смысле математического равенства результат и процесс неразличимы.

Следовательно, возможен двоякий подход к процессам управления и принятия решений: акцент можно делать на формулировании и достижении конечной цели, а можно акцентировать внимание на разумной, правильной в определенном смысле организации самого процесса управления или процесса принятия решения. Первый подход, ориентированный на конечное целе-полагание, находится в концепции регулярного управления, задающего основные стандарты, процедуры и правила управления. Этот подход является достаточно традиционным в теории и практике управления. Второй подход, ориентированный на правильную организацию самого процесса принятия решения и управления, больше соответствует контексту управления изменениями, или управлению в режиме реального времени. Один подход не исключает другой, они только дополняют друг друга, подобно тому, как в физике рассматривается свет и как волна, и как частица.

Эффективность использования на практике того или иного подхода зависит от содержания конкретной проблемы, которую необходимо разрешить. В различных технологиях принятия решений на разных этапах указанные подходы могут применяться как автономно друг от друга, так и переплетаться в разных комбинациях. При этом эволюция процесса представляется как дрейф от одного собственного состояния к другому собственному состоянию

системы. Под естественным дрейфом понимают неустойчивое движение системы в окрестностях ее собственного поведения. Следовательно, эволюционное развитие системы можно рассматривать как движение системы по ее собственным поведениям (значениям). При этом известно, что операционально замкнутая система имеет конечное или счетное число собственных поведений. Таким образом, множество собственных поведений операционально замкнутой системы дискретно, и функционирование системы с позиции теоретического внешнего наблюдателя представляет собой последовательный дискретный переход системы из одного собственного состояния в другое собственное состояние. Такой процесс называют квантованием социальных систем.

Описание функционирования операционально замкнутой системы по своему синтаксису напоминает описание движения электрона в модели атома Н. Бора, где нахождение электрона на орбите соответствует собственному поведению системы, «скачки» с одной орбиты на другую - переходу системы из одного собственного состояния в другое собственное состояние.

Если представить среду как живую систему с самоорганизующимся поведением, становится понятным, что сама система может фактически наделять внешнее окружение собственными значениями. Это также следует из существования прогностического свойства живой системы, связанного с тем, что любое описание, если его рассматривать как реальное, имеет последствия. Или, как утверждает Дж. Сорос, «описание формирует будущее». В связи с этим на основе формирования эффективных прагматических карт участников процесса принятия решений возникает необходимость в генерации «карты будущего», в процессе которой важно не только понять настоящую и желаемую ситуацию, но и пережить некоторый опыт. Это связано с формированием ситуации и созданием условий для возможной самоорганизации системы. Суть самоорганизации заключается в том, что имеются самопорождающиеся структуры, которые порождают карты будущего так, что осуществляют взаимодействие с картой будущего

В качестве иллюстрации того, что такое самоорганизация, можно привести следующий пример. Имеется аудитория с несколькими тысячами человек, каждый из которых держит в руках палку, одна половина которой зеленого, а другая - красного цвета. На зеленом экране изображен круг, а на нем - зеленая «пятерка» - цифра пять зеленого цвета. Лидеры предлагают сидящим в зале посмотреть на экран, а затем, подняв палку зеленым или красным концом вверх, восстановить изображение на экране (после того, как оно было с него убрано). Зал сканируют. Сначала на экране появляются красные и зеленые пятна случайных и неопределенных конфигураций, но менее чем через четыре минуты картина становится устойчивой: изображение на экране восстановлено. На этом примере видно, что хотя никто не мог

даже предположить, каким образом прийти к результату и что задача в принципе решаема, но, представив будущее визуально и задав совершенно конкретно, синтаксически правильно ситуацию, люди в аудитории просто ДАЛИ правильно ответ на вызов лидеров. Они это сделали без всяких инструкций, только за счет ВИДЕНИЯ желаемого результата. Это пример того, как живая система с правильно заданным синтаксисом и «сформированным» желаемым результатом может породить этот результат. Порождают эти системы сначала собственные описания, которые затем становятся собственными значениями (собственными поведениями). Таким образом, результат может быть получен в ответ на вызов с видением результата, с верой и желанием его достичь, с обращением на него внимания других: нужна ясная структура, чтобы выйти на прагматические собственные значения.

Суть «новой парадигмы» состоит в определенном отходе от управленческого рационализма, от изначального убеждения, что успех организации определяется прежде всего рационализацией процессов в ней. Организации необходимо заботиться об адаптивности своих внутренних систем, извлекать максимум выгоды из имеющихся возможностей. В этом случае организационные механизмы приспосабливаются к выявлению новых проблем и выработке новых решений больше, чем к контролю уже принятых ранее. Маневр в распределении ресурсов ценится выше, чем пунктуальность в их расходовании. Организация, агрессивно действующая в своей среде, новаторская в научно-техническом отношении, ориентированная на качество, а не на количество, адаптивная по внутреннему строению своих систем, все в большей степени зависит от человеческого фактора, который неотделим от компетенции, эффекта команды, развертывания систем стратегического управления.

Как отмечено выше, автономная система реагирует на управляющие толчки непредсказуемым образом. Известно также, что результат человеческого действия лишь частично соответствует намерениям и расчету. Типичными примерами ограниченной управляемости социальных систем служат переговоры, обсуждение проблемы, поиск решений группой экспертов. Здесь никто не контролирует ситуацию целиком, скорее сам процесс управляет участниками.

Как говорил всемирно известный английский ученый Cm Бир: «Управление системой есть способность общаться с ней, понимать ее внутренний язык и уметь пользоваться им, будучи компетентным собеседником». Другими словами, надо стремиться, чтобы синтаксис анализа, описания системы и управления ею соответствовали синтаксису функционирования самой системы. Именно это имеют в виду, говоря об экологичности управления. В связи с последним замечанием в рамках современных аналитических технологий, технологий принятия решений и управления социальными системами,

связанными со сменой парадигмы, появляется так называемый экологичный подход к проблеме: от экологии мышления к экологии управления с требованием экологичности каждого описания.

Заметим, что описание системы как открытой или операционально замкнутой порождено наблюдателем. Эти описания не противоречат и не исключают друг друга: каждое из них имеет свою область эффективности. Однако ясно, что такие системы, как экологическая, социальная, геополитическая и другие, могут быть в соответствии с их организацией представлены как операционально замкнутые.

Инструментами анализа и принятия решений в рамках новой парадигмы могут служить методология «мягких» систем, мета-модель, модели «точности», системной технологии вмешательства, организационного развития и другие, а также новые технологии анализа информации, работающие в «мягком» контексте. Это означает, что наряду с применением современного формального (математического) аппарата в управленческих и аналитических исследованиях, а также в самом процессе принятия управленческих решений целесообразно использовать как ресурс профессиональный опыт и интуицию субъектов управления.

Способность получать качественную информацию, представлять ее в полезном виде и эффективно действовать на этой основе - один из самых ценных навыков в управлении социальными процессами. Это особенно важно в условиях динамичного хаотического формирования общественных отношений, когда проведение анализа социальных систем только с помощью формального аппарата не представляется целесообразным и даже возможным. В этих условиях имеет место отход от рациональных методов анализа и механистического описания системы и переход к описанию организации как живой, с «мягкими» и неформальными подходами к ее анализу, принятию решений и управлению такой системой.

Литература

Вир Ст. Мозг фирмы. - М., 1993.

Диев B.C. Управленческие решения: неопределенность, модели, интуиция. -Новосибирск, 1998.

Зотов В. Б. Территориальное управление (методология, теория, практика). -М., 1998.

Капра Ф. Уроки мудрости. - М., 1996.

Купряшин Г.Л., Соловьев A.M. Государственное управление: Учебное пособие. -М., 1996.

Сорос Дж. Алхимия финансов. - М., 1997.

Управление организацией: Учебник / Под ред. А.Г. Поршнева, З.П. Румянцевой, Н.А. Соломатина. - М, 1998.

Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения: Учебное пособие. -М., 1997.

Хайек Ф.А. Пагубная самонадеянность. - М., 1992. Юкаева B.C. Управленческие решения: Учебное пособие. - М., 1999.